Question

10．如图，AC是⊙O的直径，弦BE⊥AC于H，F为⊙O上的一点，过F的直线与AC延长线交于点D，与BE的延长线交于点M，连接AF交BM于G，且MF=MG．
（1）求证：MD为⊙O的切线；
（2）若MD∥AB，写出FG、EG、MF之间的关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若cosM=$\frac{4}{5}$，FD=6，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠MFG=∠MGF=∠AGB，连接FO，根据等腰三角形的性质得到∠AFH=∠GAH，得到∠MFO=90°，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠M=∠B，连接EF，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设AH=3k，AB=5k，HB=4k，连接OB，根据已知条件得到FO=8=OB=OA，求得OH=8-3k根据勾股定理列方程得到k=$\frac{48}{25}$，根据等腰三角形的性质得到AB=GB=5k，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵MF=MG，
∴∠MFG=∠MGF=∠AGB，
连接FO，
∵OF=AO，
∴∠AGH=∠GAH=90°，
∴∠MFO=90°，
∴MD为⊙O的切线；
（2）解：FG²=EG•MF，
理由：∵MD∥AB，
∴∠M=∠B，
连接EF，
∵∠EFG=∠B，
∴∠M=∠EFG，
∵∠MGF=∠FGE，
∴△MGF∽△FGE，
∴$\frac{FG}{MG}=\frac{EG}{FG}$，
即FG²=MF•EG；
（3）解：∵∠M=∠B，cosM=$\frac{4}{5}$，
∴设AH=3k，AB=5k，HB=4k，
连接OB，
∵∠FOD=∠M，FD=6，
∴FO=8=OB=OA，
∴OH=8-3k，
∵OH²+HB²=OB²，
∴（4k）²+（8-3k）²=8²，
解得：k=$\frac{48}{25}$，
∵MG∥AB，
∴∠MFG=∠BAF，
∴∠BGA=∠BAG，
∴AB=GB=5k，
∴GH=k，
∴AG=$\sqrt{10}$k，
∴AG=$\frac{48}{25}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义．