Question

10．已知点A（2，-2）和点B（-4，n）在抛物线y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax²（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）把点A（2，-2）代入y=ax²，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．
（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）把点A（2，-2）代入y=ax²，得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线为y=-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-4时，y=-8，
∴点B坐标（-4，-8），
∴a=-$\frac{1}{2}$，点B坐标（-4，-8）．
（2）设直线AB为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-8}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AB为y=x-4，
∴过点B垂直AB的直线为y=-x-12，与y轴交于点P（0，-12），
过点A垂直AB的直线为y=-x，与y轴交于点P′（0，0），
∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，-12）．
（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．
∵直线AB解析式为y=-x-12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，
∵AB=AA′=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=A′E=6，
∴点A′坐标为（8，-8），
∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，
∴抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，-6），
∴此时抛物线为y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²-6．

点评 本题考查二次函数图象上点的特征、一次函数等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，知道两条直线垂直k的乘积为-1，属于中考常考题型．