Question

3．【问题情境】（1）如图1，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，连接CE、BE，F为CE的中点，连接DF，试探究DF和BE的数量关系；
【猜想证明】（2）如图2，某数学兴趣小组在探究DF和BE的数量关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点D在AC边上时，DF=$\frac{1}{2}$BE，当点D在AB边上时，结论DF=$\frac{1}{2}$BE还成立吗？请给出证明；
【拓展延伸】（3）试验发现：不论点D在什么位置，总有DF=$\frac{1}{2}$BE，试在一般情况下（如图3）证明这个结论．

Answer 1

分析 【猜想证明】如图2，延长ED，交BC于N，连接AN，CN，再根据SAS判定△ABE≌△ACN，进而得出BE=CN，最后根据根据三角形的中位线，得到DF=$\frac{1}{2}$CN，等量代换即可得到结论；
【拓展延伸】如图3，与上面类似，先延长ED，交BC于N，连接AN，CN，再根据SAS判定△ABE≌△ACN，进而得出BE=CN，最后根据根据三角形的中位线，得到DF=$\frac{1}{2}$CN，等量代换即可得到结论．

解答 解：【猜想证明】（2）如图2，延长ED到N，使DN=DE，连接AN，CN，
∵AD⊥EN，D是EN的中点，即AD垂直平分EN，
∴AE=AN，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠AED=45°，
∴∠AND=45°，
∴∠EAN=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAN，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠BAE=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACN（SAS），
∴BE=CN，
∵F是CE的中点，D是EN的中点，
∴DF是△ECN的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$BE；

【拓展延伸】（3）证明：延长ED到N，使DN=DE，连接AN，CN，
∵AD⊥EN，D是EN的中点，即AD垂直平分EN，
∴AE=AN，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠AED=45°，
∴∠AND=45°，
∴∠EAN=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAN，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠BAE=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACN（SAS），
∴BE=CN，
∵F是CE的中点，D是EN的中点，
∴DF是△ECN的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$BE．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形以及全等三角形，依据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的对应边相等得出结论．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．