Question

6．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，则线段OB=2$\sqrt{3}$；图中阴影部分的面积为4π-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，由菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），可求得OA=2，又由将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，可求得∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，继而求得线段BG的长，则可求得扇形EOB与菱形OABC的面积，继而求得答案．

解答 解：过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，
∵菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，
则∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，
∴∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=1，BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OB=2BG=2$\sqrt{3}$，
∵∠BOE=120°，
∴S_扇形=$\frac{120π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=4π，S_菱形OABC=OA•BG=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_菱形OABC=4π-2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$，4π-2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、旋转的性质以及扇形的面积．注意准确作出辅助线是解此题的关键．