Question

18．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0）且1＜x₁＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②b²-4ac＞-8a；③4a+c＜0；④2a-b+1＜0．其中正确结论是（填写序号）①③．

Answer 1

分析 采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．

解答 解：①因为图象与x轴两交点为（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，
对称轴x=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$=-$\frac{b}{2a}$，
则对称轴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，且a＜0，
∴a＜b＜0，
由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，①正确；
②假设b²-4ac＞-8a成立，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，
∴抛物线的顶点纵坐标应该大于2，
由题可知：抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，抛物线的对称轴大于-1
∴顶点一定在这个交点的上方，但不代表顶点纵坐标应该大于2．
∴假设不成立，即②错误；
③设x₂=-2，则x₁x₂=$\frac{c}{a}$，而1＜x₁＜2，
∴-4＜x₁x₂＜-2，
∴-4＜$\frac{c}{a}$＜-2，
∴2a+c＞0，4a+c＜0．
∴③正确；
④抛物线过（-2，0），则4a-2b+c=0，而c＜2，则4a-2b+2＞0，即2a-b+1＞0．④错误．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解此题的关键．