Question

12．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，BC=EC，连接BE、AD．
探究：线段AD与BE有怎样的数量关系和位置关系，并加以证明（注：两条线段之间的位置就是其所在直线的位置关系）

Answer 1

分析 猜测AD=BE且AD⊥BE，根据等腰直角三角形的性质以及角的计算即可证出△ECB≌△DCA（SAS），由此即可证出AD=BE，再通过四边形的内角和以及三角形的内角和定理即可算出∠H=90°，由此证出AD⊥BE．

解答 解：AD=BE，且AD⊥BE．证明如下：
延长EB、AD交于点H，如图所示．
∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，且BC=EC，
∴BC=EC=DC=AC．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ECB+∠BCD=90°=∠BCD+∠DCA，
∴∠ECB=∠DCA．
在△ECB和△DCA中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴AD=BE．
∠H=360°-∠CEB-∠ECA-∠CAD=360°-（∠CEB+∠CAD+∠ECB+∠BCA），
∵△ECB≌△DCA，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠H=360°-[（∠CEB+∠CBE+∠ECB）+∠BCA]=360°-（180°+90°）=90°，
∴AD⊥BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．