Question

4．先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：化简：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
解：
（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）
=2⁸-1．
问题：
（1）化简（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）．
（2）求（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）…（3ⁿ+1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$（n可以写成2ⁿ的形式，k为正整数）的值．

Answer 1

分析 （1）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘（2-1），反复运用平方差公式，得出结果；
（2）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘$\frac{1}{2}$（3-1）后，运用平方差公式，计算出结果．

解答 解：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2⁶⁴+1）
=2¹²⁸-1；
（2）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）…（3ⁿ+1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$
=$\frac{1}{2}（3-1）$（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）…（3ⁿ+1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（3²ⁿ-1）-$\frac{{9}^{n}}{2}$
=$\frac{{9}^{n}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{{9}^{n}}{2}$
=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了平方差公式．解决本题的关键是式子乘以（2-1）、$\frac{1}{2}$（3-1）后，运用平方差公式．