Question

17．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，tan∠A=$\frac{1}{2}$，∠B=120°，BC=2$\sqrt{3}$，则AP=2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB的延长线于D，求得∠CBD=60°，解直角三角形求得DC=3，进而求得AD=6，根据勾股定理求得AC=3$\sqrt{5}$，即可求得AO=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，然后求得AP=2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．

解答 解：作CD⊥AB的延长线于D，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴DC=BC•sin60°=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴AD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，
∵OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AP=2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．
故答案为2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．