Question

9．如图，△ABC中，∠C=50°，∠B=25°，AD是角平分线，点E在AB上，AE=AC．
（1）求证：△AED≌△ACD；
（2）求证：BE=DC．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明：△AED≌△ACD；
（2）根据（1）的全等得：∠ADE=∠ADC=77.5°，ED=CD，再根据等角对等边得：BE=ED，可得结论．

解答 证明：（1）∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS）；
（2）∵∠C=50°，∠B=25°，
∴∠BAC=180°-25°-50°=105°，
∵∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=52.5°，
∴∠ADC=77.5°，
由（1）得：△AED≌△ACD，
∴∠ADE=∠ADC=77.5°，ED=CD，
∴∠BDE=180°-2×77.5°=25°，
∵∠B=25°，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=ED，
∴BE=CD．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．