Question

11．如图，抛物线y=ax²经过矩形OABC的顶点B，交对角线AC于点D．则$\frac{AD}{AC}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可以设出点B的坐标，从而可以表示出点A和点C的坐标，进而求出直线AC的函数解析式然后与抛物线解析式联立方程组即可得到点D的坐标，则$\frac{AD}{AC}$的值就是点D的横坐标与点C的横坐标的比值，本题得以解决．

解答 解：设点B的坐标为（b，ab²），则点A的坐标为（0，ab²），点C的坐标为（b，0），
设过点A、C的直线的解析式为y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{n=a{b}^{2}}\\{mb+n=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=-ab}\\{n=a{b}^{2}}\end{array}\right.$，
即直线AC的直线的解析式为：y=-abx+ab²，
$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}}\\{y=-abx+a{b}^{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-b+\sqrt{5}b}{2}}\\{y=\frac{a{b}^{2}（\sqrt{5}-1）^{2}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-b-\sqrt{5}b}{2}}\\{y=\frac{a{b}^{2}（1+\sqrt{5}）^{2}}{4}}\end{array}\right.$（舍去），
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{-b+\sqrt{5}b}{2}}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．