Question

13．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．

（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．

Answer 1

分析 （1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD即可证明．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．

解答 证明：（1）如图2中，

∵AM=ME．AD=DB，
∴DM∥BE，
∴∠GDN+∠DNE=180°，
∵∠GDN=∠AEB，
∴∠AEB+∠DNE=180°，
∴AE∥DN，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵DM=$\frac{1}{2}$BE，EM=$\frac{1}{2}$AE，AE=BE，
∴DM=EM，
∴四边形DMEN是菱形．

（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．

由（1）可知四边形EMDF是菱形，
∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，
∴∠GDN=∠AEB，
∴∠MDF=∠GDN，
∴∠MDG=∠FDN，
∵∠DFN=∠AEB=∠MCE，∠GMD=∠EMD+∠CME，、
在Rt△ACE中，∵AM=ME，
∴CM=ME，
∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，
∴∠DMG=∠DFN，
∴△DMG≌△DFN，
∴DG=DN．

点评 本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．