Question

3．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点O为对称中心，过点O的直线l交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当∠AOE=30°时，求线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）根据ASA即可判断．
（2）在Rt在Rt△OFC中，∠COF=30°，OF=OCsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再根据EF=2OF即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，O为对称中心，
∴AD∥BC，AO=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）．

（2）∵四边形ABCD是菱形，O是对称中心，
∴AB=BC=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=2，∠ACB=60°，
∴OC=1，
当∠AOE=30°时，OF⊥BC，
在Rt△OFC中，∠COF=30°，OF=OCsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）可知，OE=OF，
∴EF=2OF=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．