Question

9．已知x=$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$
（1）求代数式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值；
（2）求代数式$\frac{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出$\frac{1}{x}$与$\frac{1}{y}$的值，再代入代数式进行计算即可；
（2）先把代数式的分子分母同时除以x²y²，再把出$\frac{1}{x}$与$\frac{1}{y}$的值代入进行计算即可．

解答 解：（1）∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1，$\frac{1}{y}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1，
∴原式=（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）=（$\sqrt{2}$+1）²-3=2$\sqrt{2}$；

（2）代数式的分子分母同时除以x²y²得，$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2}{xy}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1，$\frac{1}{y}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1，
∴原式=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）²+2（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）+（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）²
=[（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）+（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）]²
=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）²
=（2$\sqrt{2}$+2）²
=12+8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．