Question

17．湖州师院大学生小王利用暑假开展了30天的社会实践活动，参与了湖州浙北超市的经营，了解到某成本为15元/件的商品在x天销售的相关信息，如表表示：

销售量p（件）	P=45-x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤18时，q=20+x 当18＜x≤30时，q=38

设该超市在第x天销售这种商品获得的利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据总价=单价×数量，分别用每件商品的利润乘以这种商品的销售量，求出y关于x的函数关系式即可．
（2）首先分类讨论，求出①当1≤x≤18时，②当18＜x≤30时，该超市销售这种商品所获的利润是多少，然后比较大小，判断出该超市销售这种商品第几天的利润最大，最大利润是多少即可．

解答 解：（1）①当1≤x≤18时，
y=（20+x-15）（45-x）
=（5+x）（45-x）
=-x²+40x+225                              
②当18＜x≤30时，
y=（38-15）（45-x）
=23（45-x）
=-23x+1035                               
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+40x+225（1≤x≤18）}\\{-23x+1035（18＜x≤30）}\end{array}\right.$；
（2）①当1≤x≤18时，y=-（x-20）²+625，
∴当x=18时，y_最大值=621元．                   
②当18＜x≤30时，
∵-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x取正整数，
∴当x=19时，y_最大值=598（元）．                
∵621＞598，
∴在这30天中，该超市销售这种商品，第18天的利润最大，且最大利润为621元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，考查了单价、总价、数量的关系，以及函数解析式的求法，要熟练掌握．