Question

8．求证：N=5×3²ⁿ⁺¹×2ⁿ-3ⁿ×6ⁿ⁺²能被14整除．（N为正整数）

Answer 1

分析 先逆用同底数幂的乘法运算性质将3²ⁿ⁺¹与6ⁿ⁺²分别变形为3²ⁿ•3及6ⁿ•6²，再逆用幂的乘方与积的乘方运算性质得出3²ⁿ•2ⁿ=（3²）ⁿ•2ⁿ=9ⁿ•2ⁿ=18ⁿ，3ⁿ•6ⁿ=（3×6）ⁿ=18ⁿ，然后合并同类项得出原式为-21•18ⁿ，进一步整理从而判定5•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被14整除．

解答 证明：5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．理由如下：
∵5•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²
=5•（3²ⁿ•3）•2ⁿ-3ⁿ•（6ⁿ•6²）
=15•3²ⁿ•2ⁿ-36•3ⁿ•6ⁿ
=15•18ⁿ-36•18ⁿ
=-21•18ⁿ
=-14×3•2^n-1•9ⁿ，
又∵3•2^n-1•9ⁿ是整数，
∴5•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被14整除．

点评 本题考查了因式分解的实际运用，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式的乘法，合并同类项等知识，难度适中，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键．