Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥AB，BF⊥AB，且∠ECF=45°．若AE=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{10}$，则EF的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作ED⊥BF于D，由已知条件和等腰直角三角形的性质得出∠CAE=∠FBC，证出∠1=∠2，得出△ACE∽△BFC，由相似三角形的对应边成比例得出AC•BC=AE•BF=AC²，求出AC²=2$\sqrt{5}$，得出DE²=4$\sqrt{5}$，由勾股定理求出EF即可．

解答 解：作ED⊥BF于D，如图所示：
∵∠ECF=45°，∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠EAB=∠ABF=90°，
∴∠CAE=45°+90°=135°=∠FBC，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△ACE∽△BFC，
∴$\frac{AC}{BF}=\frac{AE}{BC}$，
∴AC•BC=AE•BF=AC²，
∴AC²=$\sqrt{2}$×$\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$，
∴DE²=AB²=2AC²=4$\sqrt{5}$，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{{\;}^{2}}}$=$\sqrt{4\sqrt{5}+（\sqrt{10}-\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；由三角形相似得出AC²的值是解决问题的关键．