Question

2．如图，在兴趣活动课中，小明将一块Rt△ABC的纸片沿着直线AD折叠，恰好使直角边AC落在斜边AB上，已知∠ACB=90°．
（1）若AC=3，BC=4时，求CD的长．
（2）若AC=3，∠B=30°时，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理可求得AB=5，然后由翻折的性质可知AE=AC=3，CD=DE，然后在△BDE中由勾股定理可求得DE的长，从而得到CD的长；
（2）由题意可知∠CAB=60°，由翻折的性质可知∠CAD=30°，利用特殊锐角三角函数值可求得CD和AB的长，从而得到DE的长，最后利用三角形的面积公式可求得△ABD的面积．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
设CD=x则DB=4-x．
∵由翻折可得DE=CD=x，AE=AC=3，
∴BE=5-3=2．
在Rt△DEB中，由勾股定理得DB²=DE²+EB²，即（ 4-x ）²=2²+x²．
解得：x=1.5
∴CD=1.5．
（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°
∴AB=2AC=6，∠CAB=60°．
由翻折的性质可知∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°．
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{CD}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得：CD=$\sqrt{3}$．
∴DE=CD=$\sqrt{3}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、特殊锐角三角函数值，理由勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．