Question

14．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC，即可得出结果．

解答 （1）证明：如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F；
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
在△PDF和△QDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{∠DFP=∠QCD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）解：如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{∠DFP=∠QCD}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=6，
∴DE=3．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．