题目内容

19．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-mx+$\frac{1}{2}$m2+m-2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ=45°，求点P的坐标；
②抛物线与直线y=2交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ=45°，求n的取值范围．

分析 （1）利用配方法得出关于m的方程，可得m的值，可得函数解析式；
（2）①由题意得，点P是直线y=x与抛物线的交点，联立抛物线解析式可求点P的坐标．
②根据当E点移动到点（2，2）时，n=2．当F点移动到点（-2，2）时，n=-6．依此可求n的取值范围．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x2-mx+$\frac{1}{2}$m2+m-2=$\frac{1}{2}$（x-m）2+m-2，
由题意，可得m-2=0．
∴m=2，
∴y=$\frac{1}{2}$（x-2）2．
（2）①由题意得，点P是直线y=x与抛物线的交点．
∴x=$\frac{1}{2}$（x-2）2，
解得x1=3+$\sqrt{5}$，x2=3-$\sqrt{5}$．
∴P点坐标为（3+$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$）或（3-$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）．
②∵∠POQ=45°，
∴E点或F点的横、纵坐标的绝对值相等，
∴当E点移动到点（2，2）时，n=2．
当F点移动到点（-2，2）时，n=-6．
由图象可知，符合题意的n的取值范围是-6≤n≤2．

点评 本题考察了二次函数综合题，抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数的解析式等知识；本题综合性强，有一定难度，利用配方法得出顶点坐标是解题关键．

练习册系列答案
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