已知正方形ABCD的边长为5.等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上.FM⊥AD.交射线AD于点M．(1)当点E在边CB的延长线上.点M在边AD上时.如图1.求证:BE+AM=AB,(2)当点E在边BC上.点M在边AD的延长线上时.如图2.设BE=x.AM=y.求y关于x的函数关系式.并写出函数定义域,(3)当点E在边BC的延长线上.点M在边AD上时.如图3．如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知正方形ABCD的边长为5，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

（1）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1，求证：BE+AM=AB；
（2）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图2，设BE=x，AM=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图3．如果∠AFM=15°，求AM的长．

分析（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明△ABE≌△ENF，得到AB=EN，证明结论；
（2）由（1）的结论得到AB=EH=5，根据正方形的性质得到AM=BH=y，得到答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质和已知得到∠EFG=30°，根据直角三角形的性质和勾股定理计算即可．

解答（1）证明：设FM交边BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠NEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠NEF
∵FM⊥AD，
∴FM⊥BC，
∴∠ENF=90°，
∴∠ABE=∠ENF，
在△ABE和△ENF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠NEF}\\{∠ABE=∠ENF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ENF
∴AB=EN，
∵∠ABC=∠BNM=∠NMA=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AM=BN，
∵EN=BE+BN，
∴AB=BE+AM；
（2）延长MF交BC的延长线于点H，由（1）得AB=EH=5，
∵∠MAB=∠ABH=∠AMH=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=y，
∵BH=BE+EH，BE=x，
∴y=x+5（0＜x＜5）；
（3）设FM交边BC于点G，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°，
∵∠AFM=15°，
∴∠EFG=30°，
∴∠AEB=∠EFG=30°，
在Rt△ABE中，AB=5，∠AEB=30°，
∴AE=10，BE=$5\sqrt{3}$5$\sqrt{3}$，
∵△ABE≌△EGF，
∴AB=EG=5
∴BG=$5\sqrt{3}-5$5$\sqrt{3}$-5，
∵∠MAB=∠ABC=∠GMA=90°
∴四边形ABGM是矩形，
∴AM=BG，
∴AM=$5\sqrt{3}-5$5$\sqrt{3}$-5．