Question

14．如图，一个正比例函数y₁=k₁x的图象与一个一次函数y₂=k₂x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y₂的图象与y轴相交于点B（0，-5），与x轴交于点C．
（1）判断△AOB的形状并说明理由；
（2）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；
（3）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标特征和勾股定理求出AO的长，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形的面积公式求出OC的长，得到点C的坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）分OA=OP、OA=AP、OP=AP三种情况，结合图形、根据等腰三角形的性质、运用勾股定理解得即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形；
（2）△AOC的面积=$\frac{1}{2}$×OC×4=8，
∴OC=4，
则点C的坐标为（4，0）或（-4，0），
当点C的坐标为（4，0）时，设旋转后直线AB的函数解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=16}\end{array}\right.$，
∴旋转后直线AB的函数解析式为y=-4x+16；
当点C的坐标为（-4，0）时，设旋转后直线AB的函数解析式为y=ax+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a+c=4}\\{-4a+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{7}}\\{b=\frac{16}{7}}\end{array}\right.$，
∴旋转后直线AB的函数解析式为y=$\frac{4}{7}$x+$\frac{16}{7}$，
答：旋转后直线AB的函数解析式为y=-4x+16或y=$\frac{4}{7}$x+$\frac{16}{7}$；
（3）当OA=OP时，点P的坐标为（-5，0）或（5，0），
当OA=AP时，∵点A的横坐标为3，
∴点P的坐标为（6，0），
当OP=AP时，
如图，设点P的坐标为（x，0），
则（x-3）²+4²=x²，
解得，x=$\frac{25}{6}$，
∴点P的坐标为（$\frac{25}{6}$，0），
∴所有符合条件的点P的坐标为：（-5，0）；（5，0）；（6，0）；（$\frac{25}{6}$，0）．

点评 本题考查的是一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，注意分情况讨论思想、数形结合思想的应用．