Question

19．如图，在Rr△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，C′F交BC于点G．当△CFG与△ABC相似时，CF的长为4或2.8．

Answer 1

分析 ①当FG⊥BC时，根据折叠的性质得到∠C′=∠C，C′E=CE=2，根据三角函数的定义得到$\frac{AB}{AC}=\frac{EG}{C′E}$，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②当GF⊥AC时，如图，根据折叠的性质得到∠1=∠2=45°，于是得到HF=HE，根据三角函数的定义得到EH=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，根据勾股定理得到C′H=$\sqrt{C′{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，即可得到结论．

解答 解：①当FG⊥BC时，
∵将△CEF沿EF折叠得△C′EF，
∴∠C′=∠C，C′E=CE=2，
∴sin∠C=sin∠C′，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EG}{C′E}$，
∴EG=1.2，
∵FG∥AB，
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{AC}$，即$\frac{3.2}{4}=\frac{CF}{5}$，
∴CF=4；
②当GF⊥AC时，如图，
∵将△CEF沿EF折叠得△C′EF，
∴∠1=∠2=45°，
∴HF=HE，
∵sin∠C=sin∠C′=$\frac{EH}{C′E}$=$\frac{AB}{AC}$
，∴EH=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴C′H=$\sqrt{C′{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
∴CF=C′F=C′H+HF=1.6+1.2=2.8．
综上所述，当△CFG与△ABC相似时，CF的长为4或2.8．
故答案为：4或2.8．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．