Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点O为对角线交点，将矩形ABCD绕点O旋转，使得点B转至点A处，点C转至点E处．若AE，BC交于P点，则BP=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形性质知AB=CD、∠ABP=∠BCD，由旋转性质知CD=CE、∠E=∠BCD，从而得∠B=∠E、AB=CE，证△ABP≌△CEP得AP=CP，根据AB²+BP²=AP²可得答案．

解答 解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD、∠ABP=∠BCD，
由旋转性质知，CD=CE、∠E=∠BCD，
∴∠B=∠E、AB=CE，
在△ABP和△CEP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠E=90°}\\{∠APB=∠CPE}\\{AB=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CEP（AAS），
∴AP=CP，
设BP=x，则AP=CP=6-x，
在Rt△ABP中，由AB²+BP²=AP²可得4²+x²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，即PB=$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查矩形的性质、旋转的性质，根据矩形和旋转的性质证得AP=CP，再利用勾股定理求解是解题的关键．