Question

如图（a），在平面直角坐标系中，A为直线y=-

1

2

x+3上的一点，AB⊥y轴，AC⊥x轴，四边形ABOC为正方形
（1）求A点的坐标；
（2）如图（b），M为AB边上的一个动点，OM的中垂线交x轴于N，连接MN交AC于点R，求△AMR的周长；
（3）如图（c），若点P为射线OA上任意一点，过P作直线PE、PF，分别与坐标轴交于点E、F（OF＞OE），PE⊥PF，求证：OE+OF=

2

OP．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）A是正方形ABOC的顶点，则横纵坐标相等，再根据在直线y=-

1

2

x+3上，即可求解；
（2）设M的横坐标是m，则M的坐标是（2m，2），把m当作已知数，利用待定系数法求得OM的中垂线的解析式，则R的坐标可利用m表示出来，然后利用勾股定理求得MR的长，则三角形的周长即可求得；
（3）作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，证明△PNE≌△PMF，证得ME=MF，则OE+OF=OM+ON=

2

OP．

解答：解：（1）在y=-

1

2

x+3中，把y=x代入得x=-

1

2

x+3，
解得：x=2，
则A的坐标是（2，2）；
（2）设M的横坐标是m，则M的坐标是（2m，2）．
则OM的中点的坐标是（m，1），
设直线OM的解析式是y=kx，则2mk=2，解得：k=

1

m

，
则直线OM的解析式是y=

1

m

x，
设OM的中垂线的解析式是y=-mx+b，则-m²+b=1，
解得：b=m²+1．
则OM的中垂线的解析式是y=-mx+m²+1．
当y=0时，解得：x=

m2+1

m

，则N的坐标是（

m2+1

m

，0）．
设直线MN的解析式是y=ax+c，
则

2am+c=2 m2+1 m a+c=0

，
解得：

a= 2m m2-1 c=- 2(m2+1) m2-1

，
则直线MN的解析式是y=

2m

m2-1

x-

2(m2+1)

m2-1

．
令x=2，则y=

2-2m

m+1

．即R的坐标是（2，

2-2m

m+1

）．
则AR=2-

2-2m

m+1

=

4m

m+1

．
AM=2-m，
MR=

( 4m m+1 )2+(2-2m)2

=

2(m2+1)

m+1

．
则△AMR的周长=

4m

m+1

+（2-m）+

2(m2+1)

m+1

=4；
（3）证明：作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N．
则四边形OMNP是正方形，PM=PN=ON=OM=

2

2

OP，∠NPM=90°．
∵PE⊥PF，即∠EPF=90°，
∴∠NPE=∠MPF．
则在△PNE和△PMF中，

∠PNE=∠PMF PN=PM ∠NPE=∠MPF

，
∴△PNE≌△PMF（ASA）．
∴ME=MF，
则OE+OF=OM+ON=

2

OP．

点评：本题考查了一次函数与三角形的全等的判定与性质，利用m表示出AR和MR的长是关键．