Question

如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．
（1）如图1，填空∠B=

 

°，∠C=

 

°；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）BA=BC，且DB=DA=AC可得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B，∠DAC=∠B，在△ADC中由三角形内角和可求得∠B，∠C；
（2）①由（1）可知∠BAD=∠CAD=36°，且∠AHN=∠AHE=90°，可求得∠ANH=∠AEH=54°，可得AN=AE；
②由①知AN=AE，借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE．

解答：解：（1）∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵DA=DB，
∴∠BAD=∠B，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，
∴2∠B+2∠B+∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，
故答案为：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，
∴∠BAD=36°，
在△ACD中，∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD=36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠AEN=∠ANE=54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD=BN+CE．
证明：由①知AN=AE，
又∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB-AN=BC-AE，CE=AE-AC=AE-BD，
∴BN+CE=BC-BD=CD，
即CD=BN+CE．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边、等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．