Question

10．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，则可利用勾股定理计算出AC=8；由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°，根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连结OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，加上∠CAB=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线．

解答 解：（1）连结BD，如图1所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$（cm）；
（2）PC与圆⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图2所示：
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，
而∠CAB=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键．