Question

16．数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：如图1，两块等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为x．
（1）如图2所示，当点C与点F重合时，求$\frac{DM}{AM}$的值；
（2）在平移过程中，$\frac{DM}{AM}$的值可以用怎样的含x的代数式表示？说明理由；
（3）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你补全图形，并求出$\frac{DM}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而$\frac{DM}{AM}$转化为$\frac{DO}{OF}$，继而得出结论；
（2）仿照（1）的思路进行求解即可；
（3）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．

解答 解：（1）如图1，
∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DO}{OF}$=1；
（2）如图2，由（1）可得 $\frac{DM}{AM}$=$\frac{DO}{OH}$=$\frac{OF}{OH}$=$\frac{EF}{EC}$，
∵EF=DE=2，CE=x
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{2}{x}$，
（3）连接AE，补全图形如图3所示，
∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，
∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°
∴DF=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，∠EFB=90°
∴DF=2AC，AD=$\sqrt{2}$，
∴点A为CD的中点，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=$\sqrt{2}$，
∵∠BEM=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，FFF
∴△AEM∽△FEB，
∴$\frac{AM}{BF}=\frac{AE}{EF}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DM=AD-AM=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{DM}{AM}$=1．

点评 本题考查了相似形综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质，考察的知识点比较多，难度较大，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．