Question

3．已知：如图数轴上两点A、B所别应的分别为-3、1，点P在数轴上从点A出发以每秒钟2个单位的长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）直接写出线段AB的中点所对应的数及t秒后点P所对应的数．
（2）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；
（3）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度．并问此时数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小？若存在，直接写出点C所对应的数；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A表示的数为-3，点B表示的数为1，根据中点坐标公式即可得到AB的中点所对应的数，进一步利用点的平移规律求得点P对应的数；
（2）可设经过x秒钟点P和点Q相遇，由路程和是AB的长，列出方程求解，进一步得出相遇点的位置即可；
（3）设点P出发y秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度，列出方程解答，分别求得P、Q点表示的数，设出点C表示的数，进一步利用两点之间的距离求得最小值即可．

解答 解：（1）线段AB的中点所对应的数是$\frac{-3+1}{2}$=-1，点P所对应的数是-3+2t；
（2）设经过x秒钟点P和点Q相遇，由题意得
2x+x=1-（-3）
解得：x=$\frac{4}{3}$，
点P和点Q相遇时的位置所对应的数为-3+2×$\frac{4}{3}$=-$\frac{1}{3}$；
（3）①设点P出发y秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度，由题意得
y12y+y=4-1，
解得：y=$\frac{2}{3}$，
点P表示为-3+$\frac{2}{3}$×2=-$\frac{5}{3}$，点Q表示为1-（1+$\frac{2}{3}$）×1=-$\frac{2}{3}$，
设此时数轴上存在-个点C，点C表示的数为a，由题意得
AC+PC+QC=|a+3|+|a+$\frac{5}{3}$|+|a+$\frac{2}{3}$|，
要使|a+3|+|a+$\frac{5}{3}$|+|a+$\frac{2}{3}$|最小，当点C与P重合时，即a=-$\frac{5}{3}$时，点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小．
②若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，则2t=1×（t+1）=4+1
解得t=$\frac{4}{3}$
故P出发$\frac{4}{3}$秒后，点P和点Q也可相距1个单位长度
此时满足条件的点C即点Q，所表示的数位-$\frac{4}{3}$
综上所述，当P出发$\frac{2}{3}$秒或$\frac{4}{3}$秒时，P和Q相距1个单位长度，此时点C所表示的数分别为-$\frac{5}{3}$和-$\frac{4}{3}$

点评 此题考查一元一次方程的实际运用，利用数轴求得两点之间的距离，根据行程问题得出基本数量关系是解决问题的关键．