Question

18．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有①②③④⑤．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 证明①可先证明△ACD≌△BCE，已有：AB=BC，CD=CE，易得∠ACD=∠BCE，其他的证明需要通过①得到，再利用三角形相似以及等边三角形的知识分别进行证明即可得出答案．

解答 解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，进而可求证△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正确；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故⑤正确；
∴∠AOE=120°，
∵∠PBO=∠PAC，∠BOP=∠PCA，
∴△BPO∽△APC，
∴$\frac{PB}{AP}$=$\frac{OP}{PC}$，
∴$\frac{PB}{OP}$=$\frac{AP}{PC}$，∵∠APB=∠CPO，
∴△APB∽△CPO，
∴∠COP=∠ABP=60°，
∴∠COA=∠COB=60°，故④正确，
故正确的有①②③④⑤，
故答案为①②③④⑤．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练应用三角形全等的证明以及相似三角形的判定是正确解答本题的关键．