Question

6．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（　　）

• A． 10
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO=∠MOB，利用等角对等边得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．

解答 解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，
同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
则BC=20-12=8．
故选C．

点评 此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．