Question

7．设常数k是实数，（x₁，y₁）、（x₂，y₂）是关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1，①}\\{y=k（x+3），②}\end{array}\right.$的两个实数解．
（1）若k=-1，求x₁+x₂的值；
（2）若x₁+x₂=-1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）把k=-1代入方程②，得到方程③，把③代入①，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系计算即可；
（2）把②代入①得到关于x的一元二次方程，根据根与系数列式求出k的值．

解答 解：（1）当k=-1时，y=-x-3③，
把③代入①得，$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{（-x-3）^{2}}{3}=1$，
整理得，5x²+24x+24=0，
则x₁+x₂=-$\frac{24}{5}$；
（2）把②代入①得，$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{k}^{2}（x+3）^{2}}{3}=1$，
整理得，（4k²+1）x²+24k²x+36k²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$-1，
解得，k=±$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．