Question

4．正方形ABCD内有一点P，连接AP，BP，CP，将△PBC绕点B逆时针旋转至BC与AB重合，得到△ABM．
（1）求证：PB⊥BM； 
（2）若AP：PB=1：2，∠APB=135°，AM=3，求PM的长．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性质得出∠ABC=90°，再利用旋转的性质得到∠MBP=∠ABC=90°，即PB⊥BM； 
（2）连结PM．设AP=k，则PB=2k．先证明△MBP为等腰直角三角形，那么PM=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$k，再求出∠APM=∠APB-∠BPM=90°，根据勾股定理得出AP²+PM²=AM²，即k²+（2$\sqrt{2}$k）²=3²，解方程求出k=1，于是PM=2$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵将△PBC绕点B逆时针旋转至BC与AB重合，得到△ABM，
∴△PBC≌△MBA，∠MBP=∠ABC=90°，
∴PB⊥BM； 

（2）解：如图，连结PM．
设AP=k，则PB=2k．
由旋转的性质可得，BP=BM=2k，∠MBP=90°，
∴△MBP为等腰直角三角形，PM=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$k，
∴∠BPM=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APM=∠APB-∠BPM=90°，
∴AP²+PM²=AM²，即k²+（2$\sqrt{2}$k）²=3²，
解得k=1（负值舍去），
∴PM=2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据旋转得出对应线段之间的等量关系，是解决问题的关键．