Question

11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．

Answer 1

分析 延长CB到G，使BG=DE，连接AG，证明△ABG≌△ADE，即可证得AG=AE，∠DAE=∠BAG，再证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的对应边相等即可证得．

解答 证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG．
∵△ABG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE，
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°．
∴△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE，
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴DE+BF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．