Question

18．如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，若AC=17cm，BC=10cm，⊙O的直径是21.25cm，则△ABC的面积是84cm²．

Answer 1

分析 如图，作直径CE，连接AE，作CM⊥AB于M．由△CAE∽△CMB，得$\frac{CA}{CM}$=$\frac{CE}{BC}$，求出CM，再利用勾股定理求出AM、BM即可解决问题．

解答 解：如图，作直径CE，连接AE，作CM⊥AB于M．

∵∠CAE=∠CMB=90°，∠AEC=∠CBM，
∵△CAE∽△CMB，
∴$\frac{CA}{CM}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{17}{CM}$=$\frac{21.25}{10}$，
∴CM=8，
∴AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{7}^{2}-{8}^{2}}$=15，MB=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AB=AM+BM=21，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CB=$\frac{1}{2}$×21×8=84cm²．
故答案为84cm²．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．