Question

6．已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB为直径作⊙O，与BE边相交于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AE于点D．
（1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：AE²=EC•EB．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AE为⊙O的切线，根据切线的性质得到AD=CD，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，由圆周角定理得到∠ACB=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠DEC，即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BAE=90°，AB为直径，
∴AE为⊙O的切线，
又CD为⊙O的切线，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
又AB直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE，
∴AD=DE，
即D是AE的中点；

（2）解：∵∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=90°，
又AB直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠CAE=∠ABC，
又∠E=∠E，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=EC•EB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．