Question

1．在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”
（1）已知点P的坐标为（2，0）
①若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；
②若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为$\sqrt{5}$，求n的值；
（2）已知△ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标．
（3）已知△ABC三个顶点的坐标为：A（-3，0）、B（$\frac{9}{2}$，0），C（0，4），点P的坐标为（0，$\frac{3}{2}$），点Q的坐标为（m，$\frac{3}{2}$），若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，求出⊙P的半径即可解决问题；
②过点Q作QH⊥x轴于H．利用勾股定理求出QH的值，即可解决问题；
（2）在Rt△OAC中，∠ACO=30°，可得OC=$\sqrt{3}$OA=3，推出C点坐标为（0，3），推出△ABC的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，推出P（0，1），设Q（x，2x），则有x²+（2x-1）²=1，求出x即可；
（3）①当相关圆与AC、AB相切时，可得半径有最小值$\frac{3}{2}$．
②当相关圆经过点B时，可得半径最大值$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，由此即可解决问题；

解答 解：（1）①∵PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S=π•r²=5π．

②过点Q作QH⊥x轴于H．

∵HQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{H}^{2}}$=2，
∴Q点坐标为（3，2）或（3，-2）．
∴n=2或-2．

（2）如图，

在Rt△OAC中，∠ACO=30°，
∴OC=$\sqrt{3}$OA=3，
∴C点坐标为（0，3），
∴△ABC的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，
∴P（0，1），
设Q（x，2x），则有x²+（2x-1）²=1，
解得x=$\frac{4}{5}$，
∴Q（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

（3）如图3中，

①当相关圆与AC、AB相切时半径有最小值$\frac{3}{2}$．
②当相关圆经过点B时，半径有最大值$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，
∴-$\frac{3\sqrt{10}}{2}$≤m≤-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$≤m≤$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、勾股定理、点P、Q的“相关圆”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题，属于中考压轴题．