Question

20．如图①所示，四边形ABCD是长方形，将长方形ABCD折叠，点B恰好落在AD边上的点E处，折痕为FG，如图②所示：

（1）图②中，证明：GE=EF；
（2）将图②折叠，点C与点E重合，折痕为PH，如图③所示，当∠FEH=90°时：
①当EF=5，EH=12时，求长方形ABCD的面积；
②将图③中的△PED绕着点E旋转，使点D与点A重合，点P与点M重合，
如图④，求证：△GEM≌△FEH．

Answer 1

分析 （1）由折叠得：∠BFG=∠EFG，再由平行线的性质可得：∠EFG=∠EGF，所以EG=EF；
（2）①先求BC的长，再作△EFH的高线EM，并利用面积法求EM=$\frac{60}{13}$，根据面积公式求长方形ABCD的面积；
②由（1）得：EG=EF，同理EH=EP，再根据旋转得：EM=EH，再证明∠GEM=∠FEH=90°，根据SAS可证明两三角形全等．

解答 （1）证明：如图2，由折叠得：∠BFG=∠EFG，
∵EG∥BC，
∴∠EGF=∠BFG
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF；
（2）①如图3，∵∠FEH=90°，
∴FH=$\sqrt{E{F}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
由折叠得：BF=EF=5，CH=EH=12，
∴BC=BF+FH+HC=5+13+12=30，
过E作EM⊥BC于M，
S_△EFH=$\frac{1}{2}$EF•EH=$\frac{1}{2}$FH•EM，
$\frac{1}{2}$×5×12=$\frac{1}{2}$×13×EM，
EM=$\frac{60}{13}$，
∴长方形ABCD的面积=EM×BC=$\frac{60}{13}$×30=$\frac{1800}{13}$；
②由折叠得：AE=DE，
∠GAE=∠MAE=90°，
∴G、A、M共线，
由（1）得：EG=EF，
同理得：EH=EP，
∵EP=EM，
∴EM=EH，
∵∠AEF=∠FEH=90°，
∴A、E、H共线，
∴∠AEG=∠HEP，
∵∠DEH=90°，
∴∠DEP+∠HEP=90，
∴∠DEP+∠AEG=90°，
由旋转得：∠DEP=∠AEM，
∴∠AEM+∠AEG=90°，
∴∠GEM=∠FEH=90°，
∴△GEM≌△FEH．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、折叠的性质、三角形全等的性质和判定，明确折叠前后的两条边及角对应相等，熟练掌握矩形的对边平行且四个角是直角，同时本题还利用平角的定义证明三点共线．