Question

17．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．

解答 证明：（1）在⊙O中，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠B=∠EAC}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH-DH=CH-GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．