Question

7．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；
（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．

解答 解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴3=$\frac{k}{2}$，点C与点A关于原点O对称，
∴k=6，C（-2，-3），
即k的值是6，C点的坐标是（-2，-3）；
（2）过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，
∵点A（2，3），k=6，
∴AN=2，
∵△APO的面积为2，
∴$\frac{OP•AN}{2}=2$，
即$\frac{OP•2}{2}=2$，得OP=2，
∴点P（0，2），
设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，
当y=0时，0=0.5x+2，得x=-4，
∴点D的坐标为（-4，0），
设过点A（2，3），B（-2，-3）的直线解析式为y=mx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{-2m+n=-3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=1.5}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴过点A（2，3），C（-2，-3）的直线解析式为y=1.5x，
∴点D到直线AC的直线得距离为：$\frac{|1.5×（-4）-0|}{\sqrt{1．{5}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．