Question

3．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（6，8），点B的坐标为（12，0）．
（1）求证：AO=AB；
（2）用直尺和圆规作出△AOB的外心P；
（3）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用；两点间的距离公式求出OA和AB，即可得出结论；
（2）由于点P是△AOB的外心，即：点P是△AOB的三边的垂直平分线的交点，进而用作垂直平分线的方法作出OB，OA的垂直平分线，交点即为点P；
（3）由OA=AB得出点P的横坐标和点A的横坐标相同，进而设出点P的坐标，再利用点P到点O和点A的距离线段建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（6，8），
∴OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵点A的坐标为（6，8），点B的坐标为（12，0），
∴AB=$\sqrt{（12-6）^{2}+（-8）^{2}}$=10，
∴AO=AB；

（2）如图1，

∴点P是所求作的△AOB的外心；

（3）如图2，

过点A作AD⊥OB于D，
连接OP，
∵点P是△AOB的外心，
∴PA=PO，
由（1）知，OA=AB，
∵A（6，8），
∴设P（6，m），
∴PA=8-m，PO=$\sqrt{{6}^{2}+{m}^{2}}$，
∴8-m=$\sqrt{{6}^{2}+{m}^{2}}$，
∴m=$\frac{7}{4}$，
∴P（6，$\frac{7}{4}$）．

点评 此题主要考查了平面坐标系中，两点间的距离公式，三角形的外心的性质，基本作图；解本题的关键是作出点P，也是解本题的难点．