Question

6．已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为1个单位/s，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为2个单位/s，设运动时间为t s．
（1）求AD与BC间的距离h；
（2）若四边形PQCD为平行四边形，求t的值；
（3）是否存在某一时刻，使得P，Q两点同时在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上？若存在，求出此时t与k的值．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，求出AD与BC间的距离h；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解得即可；
（3）根据相似三角形的性质用t表示出点Q和点P的坐标，根据反比例函数的系数的意义即k=xy计算即可．

解答 解：（1）∵C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
∴CD=5，
由菱形的面积公式可以得到，5×h=$\frac{1}{2}$×3×4×4，
解得，h=4.8；
（2）当点Q在BC上时，PD=CQ，四边形PQCD为平行四边形，
即5-t=2t，
解得，t=$\frac{5}{3}$；
当点Q在AB上时，四边形PQCD不能为平行四边形，
∴t=$\frac{5}{3}$时，四边形PQCD为平行四边形；
（3）当点Q在在BC上时，作QF⊥AC于F，PE⊥AC于E，
由题意得，AP=t，CQ=2t，
∵PE∥OD，
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AE}{OA}$，即$\frac{PE}{3}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{AE}{4}$，
解得，PE=$\frac{3}{5}$t，AE=$\frac{4}{5}$t，
则OE=4-$\frac{4}{5}$t，
∴点P的坐标为（$\frac{4}{5}$t-4，$\frac{3}{5}$t），
∵FQ∥OB，
∴$\frac{QF}{OB}$=$\frac{CF}{OC}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{QF}{3}$=$\frac{2t}{5}$=$\frac{CF}{4}$，
解得，QF=$\frac{6}{5}$t，CF=$\frac{8}{5}$t，
则OF=4-$\frac{8}{5}$t，
∴点Q的坐标为（4-$\frac{8}{5}$t，-$\frac{6}{5}$t），
∵P，Q两点同时在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴（$\frac{4}{5}$t-4）×$\frac{3}{5}$t=（4-$\frac{8}{5}$t）×（-$\frac{6}{5}$t），
解得，t₁=0（舍去），t₂=$\frac{5}{3}$，
当t=$\frac{5}{3}$时，k=（$\frac{4}{5}$t-4）×$\frac{3}{5}$t=-$\frac{8}{3}$，
当点Q在AB上时，点P在第二象限，点Q在第三象限，P，Q两点不可能同时在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴P，Q两点同时在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上时，t=$\frac{5}{3}$，k=-$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查的是反比例函数的综合运用、菱形的性质、相似三角形的性质，掌握反比例函数的系数k的意义、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．