Question

12．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
（2）若AB=5、AD=18、BE=12，求FD的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形相似；
（2）首先用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长．

解答 解：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠AEB=∠DAE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）∵AB=5，BE=12，
∴由勾股定理可得，AE=13，
∵△ABE∽△DFA，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{DF}$，即$\frac{13}{5}$=$\frac{18}{DF}$，
∴DF=$\frac{90}{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似．