Question

2．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②∠APD=∠BMF；③EM=2AM；④△CDE是等腰三角形；⑤EM：BE=$\sqrt{5}$：3；⑥S_△EPM=$\frac{1}{18}$S_梯形ABCD，正确的有①②④⑤⑥（填序号）

Answer 1

分析 连接DF，AC，EF，分别证明△ABF≌△CBE、△AME≌△CMF和△BEM≌△BFM，进而得到①结论正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；直接判断出选项③错误；先证明四边形AFCD为平行四边形，进而判断出△CED为等腰三角形，选项④正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项⑤正确；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的$\frac{1}{3}$，结合矩形的知识即可判断出⑥结论正确．

解答 解：连接DF，AC，EF，如图所示：
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCE}\\{∠AME=∠CMF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，
在△BEM和△BFM中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{BM=BM}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BFM（SSS），
∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=∠CBN=45°，
∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，
∴∠APF=∠AMN，
∴∠APD=∠BMF，选项②正确；
在△AEM中，EM≠2AM，选项③错误；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，
∴AD=FC，又AD∥FC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，
则△CED为等腰三角形，选项④正确；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，
∴EM：MC=EF：AC=1：2，
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$y，
∴3x=$\sqrt{5}$y，即x：y=$\sqrt{5}$：3，
∴EM：BE=$\sqrt{5}$：3，选项⑤正确；
∵E为AB的中点，EP∥BM，
∴P为AM的中点，
∴S_△AEP=S_△EPM=$\frac{1}{2}$S_△AEM，
又S_△AEM=S_△BEM，且S_△BEM=S_△BFM，
∴S_△AEM=S_△BEM=S_△BFM=$\frac{1}{3}$S_△ABF，
∵四边形ABFD为矩形，
∴S_△ABF=S_△ADF，又S_△ADF=S_△DFC，
∴S_△ABF=S_△ADF=S_△DFC=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD，
∴S_△EPM=$\frac{1}{18}$S_梯形ABCD，选项⑥正确．
则正确的个数有5个．
故答案为①②④⑤⑥

点评 此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．