Question

4．已知四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标分别为（0，b），（m，m+1）（m＞0），（c，b），（m，m+3），若对角线AC，BD互相平分，且b+m=4，求∠ABC的值．

Answer 1

分析 根据题意求得AC∥x轴，BD∥y轴，进而证得四边形ABCD是菱形，进一步证得AC、BD在第一象限内，得到E（m，m+2），得到b=m+2，进而求得m=1，b=3，求得A（0，3），B（1，2），E（1，3），得到BE=1，即可得到∠ABE=45°，从而求得∠ABC=90°．

解答 解：∵四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标分别为（0，b），（m，m+1）（m＞0），（c，b），（m，m+3），
∴AC∥x轴，BD∥y轴，
∴AC⊥BD，
∵对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是菱形，
∵m＞0，
∴m+1＞0，m+3＞0，
∴AC、BD在第一象限内，
如图，AC和BD的交点为E，
∴BD=（m+3）-（m+1）=2，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴E（m，m+2），
∵AC∥x轴，C（c，b），
∴m+2=b，
∵b+m=4，
∴m=1，b=3，
∴A（0，3），B（1，2），E（1，3），
∴AE=1，
∴AE=BE=1，
∵AC⊥BD，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBE=45°
∴∠ABC=90°．

点评 本题考查了坐标和图形的性质，根据题意求得点的坐标是解题的关键．