Question

17．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）．
请解答下列问题：
（1）按着以上的规律，可以写出第5个等式为：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{9}$$-\frac{1}{11}$）；
（2）用含有n（n为正整数）代数式表示第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
（3）直接写出当a_n=$\frac{1}{255}$时，n的值为8；
（4）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀的值．

Answer 1

分析 观察已知等式发现：等式左边的分数分子是1，分母的第一个因数是从1开始的奇数列，第二个因数恰比第一个数大2，等式右边是左边分母中因数的倒数的差的一半，由此可以解答．

解答 解：观察已知，总结出基本规律：等式左边的分数分子是1，分母的第一个因数是从1开始的奇数列，第二个因数恰比第一个数大2，等式右边是左边分母中因数的倒数的差的一半．
（1）第5个等式为：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{9}$$-\frac{1}{11}$）
故答案为$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{9}$$-\frac{1}{11}$）
（2）第n个等式为：a_n=$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
故答案为：$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
（3）当a_n=$\frac{1}{255}$时，（2n+1）×（2n-1）=255，解得n=8
故答案为：8
（4）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{50}{101}$．

点评 此题主要考察等式的规律探索和应用，认真观察已知，找到存在的规律是解题关键，熟悉基本的数列是解决此类问题的基础，运用求和时，注意互为相反数的和等于0，是解决第四问的前提．