Question

8．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-1，3），B（x₁，1），C（x₂、1），其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，给出下列结论：
（1）4a-2b+c＜1；（2）c＞1；（3）a＜-1；（4）b²+12a＞4ac
其中，正确结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由题意可知：抛物线开口向下，对称轴在在y轴的左侧，在对称轴的左边时，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小；所以当x=-2时，y＜1；
②因为抛物线开口向下，且过B（x₁，1），C（x₂、1），所以与y轴的交点在1的上边，即c＞1；
③把A（-1，3）和横坐标为-2、1代入可列式计算得出结论；
④根据题意可知：抛物线的顶点纵坐标大于3，列不等式得出结论．

解答 解：①当x=-2时，函数值小于1，即4a-2b+c＜1，故①正确；
②∵B（x₁，1），C（x₂、1），
∴B和C是对称点，
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-1，3），
∴抛物线开口向下，
∴c＞1，
故②正确．
③把（-1，3）代入抛物线中得：a-b+c=3，
所以c=3+b-a（1），
因为4a-2b+c＜1（2），
a+b+c＜1（3），
（1）代入（3）得：3a-b＜-2（4），
（1）代入（2）得：b＜-1（5），
（4）+（5）得3a＜-3，
所以a＜-1，故③正确；
④根据二次函数项点纵坐标公式得到：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞3，则b²+12a＜4ac，故④错误；
正确结论是：①②③．
故选C．

点评 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与y轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象及点的坐标确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．