Question

18．已知：关于x的方程x²-3x+2k-1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例y=$\frac{1+2k}{x}$的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，求满足上述条件的k的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）由题意得：△≥0，代入列不等式可得出结论；
（2）根据方程求出两根的和与两根的积，把已知${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$≥x₁x₂，变形为和与积的形式，代入计算，反比例中得：1+2k＞0，求两个不等式的解集，并取整数解．

解答 解：（1）△=（-3）²-4×1×（2k-1）≥0，
k≤$\frac{13}{8}$，
∴当k≤$\frac{13}{8}$时，关于x的方程x²-3x+2k-1=0有两个实数根；
（2）设原方程的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=2k-1，
∵${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$≥x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂≥x₁x₂，
3²-2（2k-1）≥2k-1，
∴k≤2，
∵1+2k＞0，
∴k$＞-\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜k≤2，
∴最大整数值是2．

点评 本题考查了反比例函数的性质及一元二次方程根与系数的关系、根的判别式；反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，反之也成立；对于根与系数的关系，通常把已知条件的式子进行变形，变为两根积或和的形式，代入即可．