如图.在直角坐标系中.点A的坐标是(0.2).点C是x轴上的一个动点.点C在x轴上移动时.始终保持△ACP是等边三角形.当点C移动到点O时.得到等边三角形AOB．(1)直线AB:y=mx+n与直线OB:y=kx相交于点B.不解关于x.y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=kx}\end{array}\right.$.请你求出它� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=kx}\end{array}\right.$，请你求出它的解；
（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？
（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

分析（1）过B作BD⊥x轴于点D，由等边三角形的性质可求得BD和OD的长，则可求得B点坐标，即可求得方程组的解；
（2）利用等边三角形的性质可得AC=AP，AO=AB，且可求得∠CAO=∠PAB，可证得结论；
（3）由（2）可知点P所在函数图象是过点B且与AB垂直的直线，只需要求得一个点P的坐标，由P、B的坐标，利用待定系数法即可求得直线PB的解析式，可取点P在y轴上时的点的坐标．

解答解：
（1）过点B作BD⊥x轴于点D，如图，

∵△AOB是等边三角形，A（0，2），
∴OB=2，∠AOB=60°，
∴∠BOD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$OB=1，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴B（$\sqrt{3}$，1），
∴方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$；
（2）证明：
∵△AOB和△ACP都是等边三角形，
∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，
∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，
∴∠CAO=∠PAB，
在△AOC和△ABP中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠CAO=∠PAB}\\{AC=AP}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△ABP（SAS），
由此可发现：∠ABP=∠AOC=90°，即AB⊥PB；
（3）由（2）可知点P所在函数图象是过点B且与AB垂直的直线，
∵△AOB是等边三角形，A（0，2），B（$\sqrt{3}$，1），
∴当点C移动到使点P在y轴上时，可知P（0，-2），
设点P所在直线的解析式为y=kx+b，
把B、P两点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴点P所在函数图象的解析式为y=$\sqrt{3}$x-2．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的性质、函数图象的交点、全等三角形的判定和性质及待定系数法等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中利用等边三角形的性质得到对应边、角相等是解题的关键，在（3）中确定出P在过点B且与AB垂直的直线上是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．