Question

15．阅读材料：
一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=$\frac{tanα±tanβ}{1±tanα•tanβ}$．
例如：tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°•tan30°}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{（3-\sqrt{3}）}{（3+\sqrt{3}）}$
=$\frac{（3-\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}{（3+\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}$=$\frac{12-6\sqrt{3}}{6}$=2-$\sqrt{3}$．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求tan75°的值；
（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔．文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基．1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 （1）利用题中的公式和特殊角的三角函数值计算75度的正切值；
（2）如图2，先在Rt△BDE中利用正切的定义计算出BE，然后计算BE+AE即可．

解答 解：（1）tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°•tan30°}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\sqrt{3}$；
（2）如图2，易得DE=CA=5.7，AE=CD=1.72，
在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，
∴BE=DEtan75°=5.7×（2+$\sqrt{3}$）≈21.2724，
∴AB=BE+AE=21.2724+1.72≈23（m）．
答：文峰塔AB的高度约为23m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．