Question

4．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是DC延长线上的一点，FB与⊙O相交于点G．
（1）如图1，若点M在⊙O上，$\widehat{MB}$=$\frac{4}{3}$π，⊙O的半径为2，∠MFB=∠FBA=70°，试判断FM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接FA交⊙O于点M，连接GE并延长交⊙O于点N，求证：AB平分∠MAN．

Answer 1

分析 （1）连接OM，由弧长公式求出∠BOM=120°，由四边形内角和求出∠OMF=100°，得出MF不垂直OM，作OH⊥MF于H，则在Rt△CMH中，OH＜r，即可得出结论；
（2）连接AG，证出A、E、G、F四点共圆，由圆周角定理得出圆周角∠FAG=∠FEG．证出∠BAG=∠BFE，再由圆周角定理和三角形的外角性质证出∠MAB=∠NAB即可．

解答 （1）解：FM与⊙O相交；理由如下：
连接OM，如图所示：
∵$\widehat{MB}$的长=$\frac{4}{3}$π，⊙O的半径为2，
∴$\frac{nπ×2}{180}$=$\frac{4}{3}π$，
解得：n=120°，即∠BOM=120°，
∵∠MFB=∠FBA=70°，
∴∠OMF=360°-120°-2×70°=100°，
∴MF不垂直OM，
作OH⊥MF于H，
则在Rt△CMH中，OH＜斜边OM，
即OH＜r，
∴FM与⊙O相交；
（2）证明：连接AG，则∠AGB=90°，
∴∠AGF=∠AEF=90°，
∴A、E、G、F四点在同一个圆上．
∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、弧长公式、垂径定理、四点共圆等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题（2）的关键．